When Is Probe Energy an Information Budget? Disturbance-Boundary Geometry, Partial Observation and the Limits of Recoverability-Label Discrimination

Abstract Whether a controlled system can recover from a perturbation is a property of its dynamics, actuator authority, and disturbance bounds. Whether this property can be detected from observations is a distinct statistical question. This preprint investigates the limits of recoverability-label discrimination in scalar, linear, discrete-time, finite-horizon control systems. It examines passive indistinguishability, active probing, disturbance-boundary geometry, partial observation, and robust correction windows. For matched closed-loop systems with different recoverability labels but identical passive dynamics, passive observations cannot distinguish the labels: population AUROC equals 0.5. Under Gaussian disturbances, discrimination through additive safe probing is governed by probe energy. For bounded disturbances, the relevant information quantity is a Hellinger budget determined by the disturbance distribution and its probe-induced shifts. The analysis demonstrates how the behavior of disturbance densities near their support boundaries changes the relevant probing functional, ranging from absolute excitation to fractional-power scaling and quadratic energy. Sequential Hellinger bounds characterize the information available under adaptive probing, while additional results examine recording noise, output feedback, and finite-sample discrimination. A certified theoretical example further illustrates that correctly identifying a system as recoverable does not necessarily establish the existence of a common robust correction strategy under residual parameter uncertainty. The results clarify fundamental distinctions between recoverability, statistical detectability, and robust corrective control. Scope and limitations The results apply to explicitly defined scalar, linear, discrete-time, finite-horizon model classes. The examples are theoretical population-level calculations; no empirical benchmark datasets were evaluated. Preprint — not peer reviewed. Mathematical results have undergone AI-assisted internal and cross-model review but have not been independently verified by a human mathematical referee. No empirical superiority of BenchEWS or CRTI is claimed. Conflict of interest: The author developed BenchEWS and the CRTI construct. Funding: No external funding. Version: 0.3.2 — November 2026. Zusammenfassung Ob sich ein geregeltes System nach einer Störung erholen kann, hängt von seiner Dynamik, seinen Stellgrößenreserven und den Grenzen äußerer Störungen ab. Ob diese Erholbarkeit anhand von Beobachtungsdaten erkannt werden kann, ist dagegen eine eigenständige statistische Fragestellung. Dieser Preprint untersucht die Grenzen der Erkennbarkeit von Erholbarkeitszuständen in skalaren, linearen, zeitdiskreten Regelsystemen mit endlichem Zeithorizont. Im Mittelpunkt stehen passive Ununterscheidbarkeit, aktive Testanregung, die Geometrie von Störgrößenverteilungen, partielle Beobachtbarkeit und robuste Korrekturfenster. Für Systeme mit unterschiedlichen Erholbarkeitslabels, aber identischer passiver Regelkreisdynamik ist eine Unterscheidung anhand passiver Beobachtungen nicht möglich: Die Populations-AUROC beträgt 0,5. Unter gaußverteilten Störungen wird die Unterscheidbarkeit durch die Energie einer zusätzlichen sicheren Testanregung bestimmt. Bei beschränkten Störungen ist dagegen ein Hellinger-Informationsbudget maßgeblich, das von der Störgrößenverteilung und ihrer durch die Testanregung verursachten Verschiebung abhängt. Die Analyse zeigt, wie das Verhalten der Störgrößendichte an den Grenzen ihres Trägers die geeignete Informationsgröße bestimmt: von absoluter Anregung über gebrochene Potenzen bis zur quadratischen Anregungsenergie. Sequentielle Hellinger-Schranken beschreiben die verfügbare Information bei adaptiver Testanregung. Weitere Ergebnisse betreffen Aufzeichnungsrauschen, Ausgangsrückführung und die Unterscheidbarkeit bei endlicher Stichprobengröße. Ein theoretisch zertifiziertes Beispiel verdeutlicht außerdem, dass die korrekte Einstufung eines Systems als erholbar unter verbleibender Parameterunsicherheit nicht automatisch eine gemeinsame robuste Korrekturstrategie garantiert. Die Arbeit präzisiert damit die grundlegenden Unterschiede zwischen Erholbarkeit, statistischer Erkennbarkeit und robuster Selbstkorrektur geregelter Systeme. Geltungsbereich und Einschränkungen Die Ergebnisse gelten für ausdrücklich definierte skalare, lineare, zeitdiskrete Modellklassen mit endlichem Zeithorizont. Die Beispiele beruhen auf theoretischen Berechnungen auf Populationsebene. Empirische Benchmark-Datensätze wurden nicht ausgewertet. Preprint – nicht peer-reviewt. Die mathematischen Ergebnisse wurden KI-gestützt intern und modellübergreifend geprüft, jedoch noch nicht unabhängig durch einen menschlichen mathematischen Gutachter verifiziert. Eine empirische Überlegenheit von BenchEWS oder CRTI wird nicht behauptet. Interessenkonflikt: Der Autor hat BenchEWS und das CRTI-Konstrukt entwickelt. Finanzierung: Keine externe Förderung. Version: 0.3.2 — November 2026.