Epitaxy and Dislocations. Mathematical Analysis of a Variational Model for Elastic Films

Schwerpunkt dieser Arbeit ist die mathematische Analyse eines statischen Modells für Konturbildung in heteroepitaktischen Kristallwachstum. Eine Gitterfehlanpassung zwischen Film und Substrat induziert elastische Verzerrungen, welche durch konkurrierende Mechanismen ausgeglichen bzw. relaxiert werden können. Solche Mechanismen sind zum Beispiel die Bildung von Inseln, Dislokationen oder die Frage, ob die elastische Energie durch den Film oder durch das weiche Substrat aufgenommen wird. Wir betrachten, planare Symmetrie annehmend, ein zwei-dimensionales Modell und arbeiten im Rahmen der linearen Elastizitätstheorie. Lediglich Stufenversetzungen, -dislokationen, mit einem minimalen Burgers Vektor werden in Erwägung gezogen. Das Energie-Funktional summiert die Oberflächenenergie, elastische Energie des Films, Nukleationsenergie sowie die elastische Energie im, potentiell weichen, Substrat. Im ersten Teil werden Lipschitz Profile betrachtet und die Relaxierung berechnet. Dies verbindet in gewissem Sinne die Modelle aus [GZ14] (welches Lipschitz Profile, aber keine Dislokationen betrachtet) mit [Fon+18] (unterhalbstetige Profile mit endlicher punktweiser Totalvariation, mit möglichen Dislokationen). Im zweiten Teil wird ein Skalierungsgesetz für die infimale Energie bewiesen. Das Resultat quantifiziert die Erwartung, dass in bestimmten Parameter-Bereichen die Inselbildung bzw. Bildung von Dislokationen energetisch bevorzugt wird. Dies ist eine Verallgemeinerung des rein elastischen Falles von [GZ14]. Dabei wurde für die Betrachtung der Dislokationen in der Ansatz-freien unteren Schranke eine neue Variante der Ball-Konstruktion mit präzisen lokalen Abschätzungen kombiniert.