Scaling Limits for Heavy-tailed Hawkes Processes and the Microstructure of Rough Volatility

Diese Arbeit untersucht die Skalierungsgrenzwerte von Hawkes-Prozessen mit schweren Rändern als mikrostrukturelle Grundlage für Modelle rauer Volatilität. Zunächst beweisen wir die schwache Konvergenz für die Intensität einer Folge von fast instabilen Hawkes-Prozessen mit einem Kern mit schweren Rändern, und nutzen, diese um einen Skalierungsgrenzwert für eine Klasse von Finanzmarktmodellen herzuleiten, in denen Kauf- und Verkaufsaufträge einer solchen Hawkes-Dynamik folgen. Nach geeigneter Reskalierung konvergiert der gemeinsame Preis-Volatilitäts-Prozess gegen ein raues Heston-Modell. Dies verschärft frühere Ergebnisse, die entweder Kerne mit leichten Rändern voraussetzten oder Konvergenz nur für die integrierte Volatilität zeigten. Anschließend betrachten wir ein Modell mit zwei Arten von Aufträgen, die sich in ihren Ankunftsraten und in ihrem Einfluss auf die Intensität unterscheiden. Unter geeigneter Skalierung konvergiert der Volatilitätsprozess gegen ein pfadabhängiges, fraktionales Heston-Modell, erweitert um ein zusätzliches Poisson-Zufallsmaß. Dieser zusätzliche Treiber erzeugt gelegentliche Spitzen und Cluster in der Volatilität. Unser Skalierungsgrenzwert führt neuartige Techniken zur $C$-Straffheit ein: (i) ein Kriterium für Càdlàg-Prozesse, adaptiert vom klassischen Kolmogorov-Chentsov-Ansatz für stetige Prozesse, das die Straffheit von Familien reskalierter Volatilitätsprozesse sicherstellt; und (ii) Ergebnisse zur $C$-Straffheit für stochastische Integralgleichungen, die von Poisson-Zufallsmaßen getrieben werden. Zudem weisen wir Existenz und Eindeutigkeit für nichtlineare, pfadabhängige fraktionale Volterra-Gleichungen nach, die in den Grenzwerten auftreten. Wir ergänzen die Theorie durch kurze Simulationen von impliziten Volatilitätsflächen. Diese zeigen, dass die Poisson-erweiterte Spezifikation eine ausgeprägtere Schiefe bei kurzen Laufzeiten, stärkere Asymmetrie an den Rändern und eine bessere Anpassung für Optionen aus dem Geld liefert. Kurz gesagt verhält sich das Grenzmodell wie erwartet. Zusammen liefern diese Ergebnisse mikrofundierte Herleitungen von rauen und fraktionalen Dynamiken vom Heston-Typ unter Orderflüssen mit schweren Rändern und Selbsterregung, erklären, wie sich das Randverhalten und die Erregung von der Ankunft der Handelsaufträge auf die makroskopische Rauheit der Volatilität und Sprunghäufungen übertragen, und bieten breit anwendbare Werkzeuge zum Beweis der Konvergenz in sprungbehafteten Kontexten mit schweren Rändern.