Geometria differenziale di curve e superfici: un'introduzione illustrata in ℝ² e ℝ³, con esercizi

Questo testo è un'introduzione alla geometria differenziale delle curve e delle superfici del piano e dello spazio euclideo, pensata per chi ha già familiarità con l'analisi in più variabili e l'algebra lineare e vuole comprendere che cosa significhi misurare la curvatura di un oggetto, come si calcola e perché i teoremi fondamentali siano veri. Il percorso si articola in sei capitoli: gli strumenti preliminari di analisi e algebra lineare; le curve piane, con la curvatura con segno $\kappa = \det(\alpha',\alpha'')/\|\alpha'\|^3$, il cerchio osculatore e l'indice di rotazione; le curve nello spazio, con il riferimento di Frenet $(T,N,B)$, le equazioni $T' = \kappa N$, $N' = -\kappa T + \tau B$, $B' = -\tau N$, e il teorema fondamentale che mostra come la coppia $(\kappa,\tau)$ determini la curva a meno di isometrie proprie; le superfici regolari e la prima forma fondamentale $I = E\,du^2 + 2F\,dudv + G\,dv^2$, che codifica lunghezze, angoli e aree; la curvatura delle superfici, con la mappa di Gauss, l'operatore forma $A = -dN$, le curvature principali $k_1,k_2$, la curvatura di Gauss $K = k_1 k_2$ e la curvatura media $H = \tfrac{1}{2}(k_1+k_2)$; infine la geometria intrinseca, con il Theorema Egregium di Gauss che stabilisce l'intrinsecità di $K$, le geodetiche e la relazione di Clairaut, e il teorema di Gauss–Bonnet $\iint_S K\,dA = 2\pi\chi(S) = 2\pi(2-2g)$ che lega la curvatura alla topologia. Ogni enunciato è dimostrato oppure esplicitamente indicato come «enunciato senza dimostrazione», con riferimento bibliografico. Il testo è corredato di figure realizzate con TikZ e pgfplots, di esempi svolti (circonferenza, ellisse, cicloide, elica circolare, cubica gobba, sfera, cilindro, toro, elicoide, catenoide, pseudosfera) e di esercizi a tre livelli di difficoltà, con soluzioni sintetiche per quelli contrassegnati. Tutte le formule numeriche citate negli esempi e nelle soluzioni sono state verificate al calcolatore.