A convexity proof of the scalar Herglotz inequality for the truncated Weil operator

Construyendo sobre la estructura exacta de rango uno del término del polo en el operador de Weil truncado, establecida en un trabajo previo (DOI 10.5281/zenodo.23228212), demostramos rigurosamente la desigualdad escalar de Herglotz m_o(λ₀^even) ≤ −1/μ₀(N) para un rango de cutoffs aritméticos c y números de modos N. RESULTADO PRINCIPAL La demostración explota la convexidad estricta de la función de Herglotz m_o(λ) en (−∞, ν₁), donde ν₁ es el menor autovalor de la parte sin polo B_odd, y construye cotas inferiores rigurosas mediante rectas tangentes. Verificamos numéricamente a 200 dígitos decimales que la cota tangente coincide con el objetivo −μ₀⁻¹ a precisión de máquina (orden 10⁻⁴¹) para 9 combinaciones (c, N) con c ∈ {13, 17, 19, 23, 29} y N ∈ {50, 75, 100}. CONSECUENCIA El estado fundamental del operador de Weil truncado es simple y par para todos los casos probados, confirmando numéricamente la hipótesis de simplicidad par del programa de Connes–Consani–Moscovici. ESTRUCTURA ESPECTRAL Un análisis estructural de la medida espectral revela que la función de Herglotz está dominada por una ventana de modos que se encoge conforme c aumenta: el peso del modo dominante crece del 36% (c=13) al 87% (c=19). Esto proporciona un mecanismo concreto para la desigualdad y sugiere su trivialidad asintótica. PALABRAS CLAVE operador de Weil, Hipótesis de Riemann, matriz de Loewner, simplicidad par, desigualdad de Herglotz, Connes–Consani–Moscovici, convexidad, análisis espectral.