Causal Equality Theory V2: Nested Routes, Dual Closure Geometry, Provenance, Measurement, and Certified Causal Resolution

Causal Equality Theory V2 develops a typed framework for determining when two states may be considered equal in a causal system and, more importantly, what information must be preserved for that equality to remain meaningful. The central result is that causal equality cannot be reduced to a terminal identity such as A = B or to a zero residual alone. Equal terminal states may arise from different generators, histories, routes, measurements, or closure conditions. A complete equality verdict must therefore retain state, causal connector, grade, provenance, generator identity, geometry, measurement frame, residual or certificate, multiplicity, and closure scope. The theory distinguishes three contextual equality grades—LOWER, NEUTRAL, and SUPERIOR—associated locally with OUTBOUND/SIN1, RETURN/SIN2, and CLOSURE/COS roles. These grades do not represent three different truths. They represent increasingly complete closure structures. A major refinement introduced in the final development is the nested-route principle. Higher equality grades do not merely replace lower routes; they preserve already materialized routes while adding new admissible paths toward the same closure. If R_LOWER ⊆ R_NEUTRAL ⊆ R_SUPERIOR, then the corresponding total-failure events satisfy F_SUPERIOR ⊆ F_NEUTRAL ⊆ F_LOWER, and therefore P(F_SUPERIOR) ≤ P(F_NEUTRAL) ≤ P(F_LOWER) without requiring independence assumptions. The exact numerical gain depends on the coupling between failures, but reliability cannot decrease when a genuinely available fallback route is added. A second, dual monotonicity concerns closure constraints. Equality may become stronger not only because more valid routes can realize the same terminal state, but also because additional certified boundaries reduce the set of states compatible with that closure. Causal Equality therefore uses a partial order rather than a universal scalar: stronger equality may combine a larger family of admissible realization routes with a smaller admissible closure carrier. The theory incorporates Causal Triangle geometry through metric-aware angular and Gram quantities, while explicitly separating causal grade from geometric angle. It further distinguishes object, instrument, metric/frame, resolution, and provenance, preventing observational or coordinate changes from being misidentified as changes in the underlying causal object. A normalized geometric defect, certified interval propagation, coupled uncertainty carriers, causal quotients, provenance-preserving branch merging, and structural closure witnesses are developed as supporting components. Numerical root certification, interval methods, branch scheduling, termination proofs, and related computational mechanisms are separated from the theory itself and assigned to the Causal Solution Certification Engine. A physical structural bridge is examined through PMNS neutrino unitarity triangles. Their closure provides a genuine example of equality represented geometrically as a vanishing complex residual, while preserving the firewall that model-imposed unitarity is not an independent experimental proof of exact physical unitarity. The final theory therefore treats causal equality as a structured relation between realization, closure, provenance, geometry, and measurement rather than as a bare numerical coincidence. Its intended role in the broader Causal Solution framework is to act as the mandatory certification layer between a solver-generated candidate and any declaration of causal closure. Status: CLOSED_CAUSAL_EQUALITY_THEORY_V2. La Théorie de l’Égalité Causale V2 développe un cadre typé permettant de déterminer quand deux états peuvent être considérés comme égaux dans un système causal et, surtout, quelles informations doivent être conservées pour que cette égalité demeure significative. Le résultat central est qu’une égalité causale ne peut pas être réduite à une identité terminale telle que A = B ni à l’annulation isolée d’un résidu. Deux états terminaux identiques peuvent provenir de générateurs, histoires, routes, mesures ou conditions de fermeture différentes. Un verdict complet d’égalité doit donc conserver l’état, le connecteur causal, le grade, la provenance, l’identité du générateur, la géométrie, le cadre de mesure, le résidu ou certificat, la multiplicité et la portée de fermeture. La théorie distingue trois grades contextuels d’égalité — LOWER, NEUTRAL et SUPERIOR — associés localement aux rôles OUTBOUND/SIN1, RETURN/SIN2 et CLOSURE/COS. Ces grades ne représentent pas trois vérités différentes. Ils décrivent des structures de fermeture progressivement plus complètes. Une correction majeure du développement final est le principe des routes emboîtées. Les grades supérieurs ne remplacent pas simplement les routes inférieures : ils conservent les routes déjà matérialisées tout en ajoutant de nouvelles voies admissibles vers la même fermeture. Si R_LOWER ⊆ R_NEUTRAL ⊆ R_SUPERIOR, alors les événements d’échec total vérifient F_SUPERIOR ⊆ F_NEUTRAL ⊆ F_LOWER, et donc P(F_SUPERIOR) ≤ P(F_NEUTRAL) ≤ P(F_LOWER), sans hypothèse d’indépendance. Le gain numérique exact dépend du couplage réel entre les pannes, mais l’ajout d’une véritable route de secours ne peut diminuer la fiabilité de fermeture. Une seconde monotonie, duale, concerne les contraintes de fermeture. Une égalité peut devenir plus forte non seulement parce que davantage de routes permettent d’atteindre le même terminal, mais également parce que des frontières certifiées supplémentaires réduisent l’ensemble des états encore compatibles avec cette fermeture. L’Égalité Causale est donc organisée par un ordre partiel plutôt que par un scalaire universel : une égalité plus forte peut combiner davantage de voies admissibles avec une ambiguïté de fermeture plus faible. La théorie incorpore la géométrie du Triangle causal au moyen de quantités angulaires et de Gram dépendantes de la métrique, tout en séparant explicitement le grade causal de l’angle géométrique. Elle distingue également l’objet, l’instrument, la métrique ou le repère, la résolution et la provenance, afin qu’un changement d’observation ou de coordonnées ne soit pas confondu avec un changement de l’objet causal lui-même. Le développement comprend également un défaut géométrique normalisé, la propagation certifiée d’intervalles, des carriers d’incertitude couplés, le quotient causal, la fusion de branches avec conservation de provenance et des témoins structurels de fermeture. Les méthodes numériques de certification de racines, les méthodes d’intervalles, l’ordonnancement des branches, les preuves de terminaison et les mécanismes computationnels associés sont finalement séparés de la théorie proprement dite et transférés au moteur de certification de la Solution causale. Un bridge physique structurel est étudié au moyen des triangles d’unitarité PMNS des neutrinos. Leur fermeture fournit un exemple réel d’égalité représentée géométriquement par l’annulation d’un résidu complexe, tout en conservant le pare-feu selon lequel une unitarité imposée par le modèle ne constitue pas une preuve expérimentale indépendante d’une unitarité physique exacte. La théorie finale traite ainsi l’égalité causale comme une relation structurée entre réalisation, fermeture, provenance, géométrie et mesure, et non comme une simple coïncidence numérique. Dans l’architecture plus large de la Solution causale, son rôle est de servir de couche obligatoire de certification entre une candidate produite par le solveur et toute déclaration de fermeture causale. Statut : CLOSED_CAUSAL_EQUALITY_THEORY_V2.