Scaling limits for population models with varying size

Die vorliegende Arbeit stellt zwei verschiedene mathematische Modelle für Populationen mit stark schwankender Größe vor, untersucht deren Grenzverhalten vor- und rückwärts in der Zeit. Im ersten Kapitel stellen wir ein individuenbasiertes Modell für strukturierte Populationen vor, die demografische Engpässe durchlaufen, d. h. drastische Verringerungen der Populationsgröße, die viele Generationen andauern und beliebiger Art sein können. Wir zeigen zunächst, dass der (nicht-markovsche) Allelfrequenzprozess in einer geeigneten Abschwächung der Skorokhod-J1-Topologie zu einem markovschen Diffusionsprozess mit Sprüngen konvergiert. Rückwärts in der Zeit stellen wir fest, dass die Genealogie von zufällig gewählten Individuen durch Multi-Typ-Xi-Koaleszenzen beschrieben werden, die mehrere gleichzeitige Zusammenschlüsse mit gleichzeitigen Migrationen darstellen. Diese Koaleszenzen sind auch Moment-Duale der limitierenden Sprungdiffusionen. Das zweite Kapitel befasst sich mit einer Population zweier Typen, die sich als logistischer Verzweigungsprozess mit Mutation entwickelt, wobei einer der Typen einen selektiven Vorteil hat. Wir interessieren uns für das Regime, in dem die Tragfähigkeit des Systems gegen unendlich geht. Nachdem wir eine Gillespie-Wright-Fisher-SDE im Grenzfall der unendlichen Tragfähigkeit nachgewiesen haben, konstruieren wir den Ancestral Selection Graph und zeigen die Konvergenz des Blockzahlprozess zum Momentendual der Grenzdiffusion.