An Algebra of Memory: Formal Foundations and Empirical Validation of Associative Composition Without Catastrophic Interference

English This work introduces a substrate-independent algebra for compositional memory that simultaneously satisfies associativity, recoverability, semantic preservation, stability, and expressiveness. The fundamental memory object is a hybrid structured tuple m = (V, G, T, P), where V is a distributed vector representation capturing semantic similarity, G is an explicit relational graph encoding entities and dependencies, T is a temporal/episodic component, and P represents priority/utility. Composition (⊕) is formalized as a categorical pushout with transitive closure, ensuring exact associativity regardless of composition order. A central contribution of this work is demonstrating that composition need not destroy recoverability: using bidirectional lens theory (with Put-Get consistency laws), retrieval (ρ) and retraction (⊖) are formalized as structure-preserving operations over the composite state. Empirical validation across three phases confirms: (1) exact associativity (distance = 0) across 50 seeds with correlated embeddings (ρ ∈ [0, 0.95]), invariance to fusion thresholds θ and dimensionality d; (2) statistical superiority over LSTM and vector-sum baselines (p < 10^-6) in stability under N=10^4 sequential compositions, with optimized LSH retrieval in 0.628s; (3) structural differentiation from kNN baselines in critical scenarios where flat retrieval fails — temporal conflicts (100% vs 50%), fact retraction (100% vs 33–43%), and multi-hop reasoning (100% vs 87–93%). The algebra scales to N=10^4 memories with retrieval under 1s and shows no catastrophic failure under adversarial conditions (antiparallel vectors, identical vectors, correlated embeddings). These results establish a formal framework for memory composition that preserves recoverability, positioning it as a theoretical foundation for next-generation AI memory systems beyond flat retrieval buffers and recurrent states. Keywords: compositional memory, category theory, pushouts, bidirectional lenses, hyperdimensional computing, vector symbolic architectures, associative composition, semantic preservation, memory retraction, multi-hop reasoning. Português Este trabalho introduz uma álgebra independente de substrato para memória composicional que satisfaz simultaneamente associatividade, recuperabilidade, preservação semântica, estabilidade e expressividade. O objeto fundamental da memória é uma tupla estruturada híbrida m = (V, G, T, P), na qual V é uma representação vetorial distribuída que captura similaridade semântica, G é um grafo relacional explícito que codifica entidades e dependências, T é um componente temporal/episódico e P representa prioridade/utilidade. A composição (⊕) é formalizada como um pushout categórico com fechamento transitivo, garantindo associatividade exata independentemente da ordem de composição. Uma contribuição central deste trabalho é demonstrar que a composição não precisa destruir a recuperabilidade: utilizando a teoria de lentes bidirecionais (com as leis de consistência Put-Get), a recuperação (ρ) e a retração (⊖) são formalizadas como operações que preservam a estrutura sobre o estado composto. A validação empírica em três fases confirma: (1) associatividade exata (distância = 0) em 50 sementes com embeddings correlacionados (ρ ∈ [0, 0.95]), invariável aos limiares de fusão θ e à dimensionalidade d; (2) superioridade estatística em relação aos baselines LSTM e soma vetorial (p < 10^-6) em estabilidade sob N=10^4 composições sequenciais, com recuperação LSH otimizada em 0,628s; (3) diferenciação estrutural em relação aos baselines kNN em cenários críticos nos quais a recuperação plana falha — conflitos temporais (100% contra 50%), retração de fatos (100% contra 33–43%) e raciocínio multi-hop (100% contra 87–93%). A álgebra escala para N=10^4 memórias com recuperação inferior a 1s e não apresenta falhas catastróficas sob condições adversariais (vetores antiparalelos, vetores idênticos e embeddings correlacionados). Esses resultados estabelecem um framework formal para composição de memória que preserva a recuperabilidade, posicionando-o como uma fundamentação teórica para sistemas de memória de IA de próxima geração, indo além de buffers de recuperação plana e estados recorrentes. Palavras-chave: memória composicional, teoria das categorias, pushouts, lentes bidirecionais, computação hiperdimensional, arquiteturas simbólicas vetoriais, composição associativa, preservação semântica, retração de memória, raciocínio multi-hop.