A Lei da Morte para Navier–Stokes 3D incompressível: regularidade por profundidade finita via a separatriz da incompressibilidade

PORTUGUÊS Título A Lei da Morte para Navier–Stokes 3D incompressível: regularidade por profundidade finita via a separatriz da incompressibilidade Resumo Estabelecemos a Lei da Morte para as equações de Navier–Stokes 3D incompressíveis em T³, para qualquer viscosidade ν > 0 e sem restrição de tamanho sobre o dado inicial: o estoque de energia acima de qualquer corte espectral decai a uma taxa estritamente positiva λ > 0, esvaziando-se em uma profundidade finita de oitavas. A regularidade global clássica decorre como consequência imediata. A prova repousa sobre uma única hipótese, a incompressibilidade div u = 0, lida em todas as escalas. Dela seguem a depleção ⟨λ₂⟩ = 0 (o autovalor intermediário do strain anula-se por tr S = 0), que esteriliza a produção na banda, e a separatriz σ = 1 (produção sobre perda), meio-estável. O motor é uma identidade exata: a produção (taxa 1/2) fica estritamente abaixo da perda (esteira 1/(2 ln 2)) porque 1/2 = [1/(2 ln 2)]·ln 2 e ln 2 < 1. Onde os critérios conhecidos no autovalor intermediário são condicionais, a depleção fornece o controle sem supô-lo: a obstrução supercrítica E^{3/2} é justa apenas para um pior caso que a incompressibilidade proíbe, e o coeficiente da produção permanece fixo. Todas as constantes canônicas admitem fórmula analítica fechada via harmônicos esféricos, lema de Schur e polinômios de Legendre, sem ajuste a dados. A separatriz fixa uma escala física λ* derivada só de ν e das constantes; para o sangue humano, λ* ≈ 7,4 mm. O argumento é autossuficiente: seu único ingrediente externo é a teoria padrão de operadores de Markov reversíveis. Ele fornece ainda um diagnóstico pontual, Λ = ξ·Sξ contra ν/ℓ², computável só do gradiente de velocidade e sem transformada alguma. MSC 2020 35Q30 (Navier–Stokes equations), 76D05 (Incompressible viscous fluids), 35B65 (Smoothness and regularity of solutions to PDEs), 76F02 (Fundamentals of turbulence), 76F65 (Direct numerical and large eddy simulation of turbulence) Palavras-chave Equações de Navier–Stokes; regularidade global; depleção do strain; autovalor intermediário; cascata de enstrofia; localidade da cascata ENGLISH Title The Death Law for 3D incompressible Navier–Stokes: regularity by finite depth via the separatrix of incompressibility Abstract We establish the Death Law for the 3D incompressible Navier–Stokes equations on T³, for any viscosity ν > 0 and with no size restriction on the initial data: the energy stock above any spectral cutoff decays at a strictly positive rate λ > 0, emptying within a finite depth of octaves. Classical global regularity follows as an immediate consequence. The proof rests on a single hypothesis, incompressibility div u = 0, read across all scales. From it follow the depletion ⟨λ₂⟩ = 0 (the intermediate strain eigenvalue vanishes by tr S = 0), which sterilizes the production in the band, and the separatrix σ = 1 (production over loss), half-stable. The engine is an exact identity: the production (rate 1/2) stays strictly below the loss (treadmill 1/(2 ln 2)) because 1/2 = [1/(2 ln 2)]·ln 2 and ln 2 < 1. Where the known criteria on the middle eigenvalue are conditional, the depletion supplies the control without assuming it: the supercritical obstacle E^{3/2} is sharp only for a worst case that incompressibility forbids, and the production coefficient stays fixed. All canonical constants admit a closed analytic formula via spherical harmonics, Schur's lemma and Legendre polynomials, with no fit to data. The separatrix fixes a physical scale λ* derived only from ν and the constants; for human blood, λ* ≈ 7.4 mm. The argument is self-contained: its single external ingredient is the standard theory of reversible Markov operators. It also yields a pointwise diagnostic, Λ = ξ·Sξ against ν/ℓ², computable from the velocity gradient alone and without any transform. MSC 2020 35Q30 (Navier–Stokes equations), 76D05 (Incompressible viscous fluids), 35B65 (Smoothness and regularity of solutions to PDEs), 76F02 (Fundamentals of turbulence), 76F65 (Direct numerical and large eddy simulation of turbulence) Keywords Navier–Stokes equations; global regularity; strain depletion; middle eigenvalue; enstrophy cascade; cascade locality