RECIPROCAL GEOMETRY AT KERR–NEWMAN–DE SITTER TRIPLE CONFLUENCE EXACT ENDPOINT CONJUGACY, FOUR-ROOT CLOSURE, AND SURFACE-GRAVITY MIRRORS

We identify three exact reciprocal structures in ultracold Kerr–Newman–de Sitter (KNdS) geometry and distinguish their origins. On the exact triple-horizon arc, elimination of the horizon-scale parameter gives the charge relation 36ΛQ2 2= x−42x + 9, x := Λa2. At the charge-free rotating endpoint the physical root is x− = 21−12√3, while its algebraic conjugate is x+ = 21 + 12√3. After normalization by 3, the conjugates are 7 ∓4√3 = (2 ∓√3)2 and form an exact reciprocal pair. Independently, the depressed radial quartic with a nonzero triple root factorizes uniquely as (r−s)3(r + 3s), producing the intrinsic coefficient reciprocity 4/3 ↔3/4. For an arbitrary finite resolution of the triple cluster we derive exact event-normalized residues, their rotating surface-gravity dressing, and exact four-root closure. Mirror symmetry is characterized by equality of the two outer/event surface-gravity ratios and yields the third reciprocal pair 2 ↔1/2, together with the signed anti-reciprocal trace 3/2. We then connect this exact geometry to the independently derived first-order axial Einstein–Maxwell dynamics: the frame-independent potential is pure frame dragging at every horizon, its non-dragging remainder is lapse-suppressed, and the corotation mismatch is fixed by the horizon angular velocities. The same calculation contains the constants 21 and 42 in its unique multipole-dependent charged gravitational remainder; we record that occurrence as an independent incidence, not as a proved common mechanism. Discrete Jacobsthal–Lichtenberg material is retained only as a secondary comparison subject to the determinant no-go for any literal transfer-matrix identification. French Nous identifions trois structures r´eciproques exactes dans la g´eom´etrie ultrafroide de Kerr–Newman–de Sitter (KNdS) et distinguons leurs origines. Sur l’arc exact `a trois horizons, l’´elimination du param`etre d’´echelle de l’horizon donne la relation de charge 36ΛQ2 2= x−42x + 9, x := Λa2. Au bord tournant sans charge, la racine physique est x− = 21−12√3, tandis que sa conjugu´ee alg´ebrique est x+ = 21+12√3. Apr`es normalisation par 3, les conjugu´ees sont 7∓4√3 = (2∓√3)2 et forment une paire r´eciproque exacte. Ind´ependamment, la quartique radiale d´eprim´ee poss´edant une racine triple non nulle se factorise de mani`ere unique sous la forme (r−s)3(r + 3s), produisant la r´eciprocit´e intrins`eque des coefficients 4/3 ↔3/4. Pour une r´esolution finie arbitraire de l’amas triple, nous d´erivons les r´esidus exacts normalis´es `a l’horizon des ´ev´enements, leur habillage rotatif par la gravit´e de surface et la fermeture exacte `a quatre racines. La sym´etrie miroir est caract´eris´ee par l’´egalit´e des deux rapports de gravit´e de surface externe/´ev´enement et fournit la troisi`eme paire r´eciproque 2 ↔1/2, ainsi que la trace anti-r´eciproque sign´ee 3/2. Nous relions ensuite cette g´eom´etrie exacte `a la dynamique axiale d’Einstein–Maxwell au premier ordre, d´eriv´ee ind´ependamment : le potentiel ind´ependant du rep`ere est un pur entraˆınement des r´ef´erentiels`a chaque horizon, son reste non li´e `a l’entraˆınement est supprim´e par le lapse, et le d´efaut de corotation est fix´e par les vitesses angulaires des horizons. Le mˆeme calcul contient les constantes 21 et 42 dans son unique reste gravitationnel charg´e d´ependant du multipˆole ; nous enregistrons cette occurrence comme une incidence ind´ependante, et non comme un m´ecanisme commun d´emontr´e. Le mat´eriau discret de Jacobsthal–Lichtenberg n’est conserv´e qu’`a titre de comparaison secondaire, sous r´eserve de l’obstruction par le d´eterminant `a toute identification litt´erale par matrice de transfert.