Ιδανικό Κοσμολογικό Νόμισμα: Η Υπόθεση Riemann και η Αρχή της Μέγιστης Εντροπίας

Θεωρούμε ένα πεπερασμένο διάστημα όπου οι ελεύθεροι τετραγώνου αριθμοί ταξινομούνται σε δύο τύπους o/e (περιττό/άρτιο πλήθος πρώτων παραγόντων). Όλοι οι τύποι είναι γνωστοί εκτός από ένα διακεκριμένο σημείο μ. Χρησιμοποιώντας την αρχή της ομοιομορφίας του Laplace και μια μέθοδο διαμερίσεων, αποδεικνύουμε ότι οι πιθανότητες για το μ είναι κανονικοποιημένα αθροίσματα αντίστροφων αποστάσεων. Μέσω του Θεωρήματος των Πρώτων Αριθμών, δείχνουμε ότι για κάθε ελεύθερο τετραγώνου μ αυτές οι πιθανότητες ισούνται με 1/2, αποδεικνύοντας ότι η ακολουθία ισοτιμίας είναι i.i.d. Bernoulli(1/2). Υπό την αρχή της μέγιστης εντροπίας, αποδεικνύουμε ότι η ακολουθία είναι τυπική (Martin–Löf τυχαία), γεγονός που συνεπάγεται τον νόμο του επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου για τη συνάρτηση Mertens και συνεπώς την Υπόθεση Riemann. Αποδεικνύουμε επίσης ότι ένα ομοιόμορφο φράγμα στον μετασχηματισμό Hilbert H(μ)=Σ_{k≠μ} μ(k)/(μ-k) συνεπάγεται την RH. Αριθμητικά πειράματα έως 10^7 δίνουν |H(μ)|<3. Αυτό το πλαίσιο επεκτείνεται σε προβλήματα πρόβλεψης υψηλών διαστάσεων με πολλά αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα και ελέγξιμους παράγοντες, προσφέροντας σημαντικές δυνατότητες εφαρμογής σε κάθε τομέα της επιστήμης και της τεχνολογίας (ΤΝ, χρηματοοικονομικά, χρηματιστήρια).