Geometric Interpretation of the Hodge Conjecture via Dual Complex Numbers

This paper presents a geometric reinterpretation of the Hodge conjecture using the dual complex number system introduced in Morimoto (2026). The dual complex framework separates the real and imaginary components of complex geometry into two explicit complex planes, allowing the $(p,q)$-type structure of Hodge theory to be expressed through angle pairs $(\theta_1,\theta_2)$. Within this setting, the discrepancy between algebraic cycles and harmonic forms is represented by the angle difference \[\Delta\theta = \theta_1 - \theta_2,\] and its magnitude, the torsion quantity \[\tau = |\Delta\theta|,\] provides a geometric measure of non-algebraicity. The multiplication structure of dual complex numbers aligns naturally with the wedge product in Hodge theory, enabling a consistent angle-based description of $(p,q)$-forms. Under the condition $\Delta\theta = 0$, the angle structures coincide, indicating compatibility between algebraic and analytic components; when $\Delta\theta \neq 0$, the mismatch reflects the failure of a Hodge class to correspond to an algebraic cycle. This approach offers a new geometric perspective on the Hodge conjecture by evaluating algebraicity through angle structures in the dual complex plane. 本論文は,対複素数体系における二重複素平面構造および偏角・偏角差・捩れ量の概念を用いて,Hodge 予想の幾何的側面を再解釈するための枠組みを与えるものである。対複素数は,実部複素平面と虚部複素平面という二枚の複素平面に同時に現れる「二重点」として定義され,それぞれに独立な偏角構造と偏角差構造を持つ。この二重構造により,従来の複素多様体上の $(p,q)$-型分解に対応する「側性」と「捩れ」を,角度的・幾何的量として明示的に記述することが可能となる。 本研究では,まず対複素数の可換的基礎層における六構造(実部複素平面・虚部複素平面・実数偏角平面・虚数偏角平面・実数偏角差・虚数偏角差)を公理的に整理し,それらが複素多様体上の調和形式の幾何的挙動とどのように対応するかを考察する。次に,偏角差および捩れ量を用いて,代数的サイクルと Hodge クラスの間に生じる「幾何的ねじれ」を対複素数の角度構造として表現し,Hodge 予想における「代数性」と「調和性」のギャップを,二重平面上の捩れ構造として捉える試みを行う。 本論文の目的は,Hodge 予想そのものの解決を与えることではなく,対複素数体系を通じて,複素多様体上の Hodge 構造に内在する幾何的側性・捩れ・角度的整合性を新たな視点から記述するための基礎的枠組みを提示することである。これにより,Hodge 予想に関する今後の研究において,対複素数の角度体系が,代数的サイクルと調和形式の関係を解析するための補助的道具となる可能性を示す。