Preservation of Distinguishability: The Minimal Structure of Observation and the Generation of State Space

Existing physics and mathematics have long presupposed structures such as state spaces, measures, and Hilbert spaces as given, and described dynamics on top of them. This paper asks whether such structures can instead be derived starting only from the flow of time and distinguishability, without presupposing a state space. To this end, a minimality principle (minimization of free parameters) is applied consistently at every stage. We first show, from the purely logical fact that the flow of time itself forms a semigroup without inverse (ℝ≥0,+), that physical time-reversal is an operation undefined from the outset, and confirm that this asymmetry is realized in concrete dissipative systems. Applying the minimality principle (minimization of free parameters) adopted in this paper together with the origin-independence required by the flow of time, we then show that the Gaussian measure familiar from existing theory is the unique measure surviving these requirements, and that the space in which it lives is naturally fixed as a countably infinite-dimensional separable Hilbert space. Further, inverting the generator of the dissipative semigroup required by the preservation of distinguishability, we show that the generator Δ𝑒𝑛 = 𝑛^2𝑒𝑛 is uniquely determined solely by consistency with the measure’s own regularity threshold, without presupposing a concrete space (a specific dimension or boundary condition), and that this regularity threshold is naturally organized into the regularity hierarchy 𝛼 > 𝑘+1/2, consisting of measure-theoretic (𝑘 = 0), topological (𝑘 = 1), and dissipative (𝑘 = 2) layers. From these prior results we axiomatize the minimal structure of observation (SCP) and the forward direction condition (ODC). From the condition that a single generator Δ returns to itself over time (self-return), Euler’s identity and the Fourier series that extends from it emerge; from the Wick rotation that analytically continues that generator, the Schrödinger-type equation and the path integral emerge. The inverse operation Δ−1 of the same generator leads, via the Green’s function, to the Navier-Stokes equations, and the Born rule emerges from the statistical structure of the initial covariance itself, which was already established before Δ was even derived, without anyseparate object called a wavefunction. These results suggest that the practice, in physics and mathematics, of presupposing a state space may have been a descriptive convention of Newtonian mechanics, which placed the state itself as an absolute origin and described time on top of it. This paper shows that the same structure is reached even after stripping away this convention, supporting the reading that the convention was a matter of convenience rather than necessity. Furthermore, this generator Δ inherits, at every cycle, the information left by the previous cycle as its initial condition, operating again over time and repeating the process of returning to itself: the state itself is completely extinguished at the end of each cycle, but during the cycle’s execution the physical layers of measure, topology, and dissipation are newly fixed, and that layer itself is left behind as a structure of space for the next cycle. 기존 물리학과 수학은 상태공간, 측도, 힐베르트 공간과 같은 구조를 미리 주어진 것 으로 전제하고 그 위에서 동역학을 기술 해 왔다. 이 논문은 상태 공간을 전제하지 않고,시간의흐름과구별가능성만을 출발점으로 삼아 이러한 구조들을 실제로 도출 할 수 있는지를 묻는다. 이를 위해 최소성 원칙 (자유 매개 변수 최소화)을 매 단계에 일관되게 적용한다. 먼저 시간의 흐름 자체가 역원없는 반군(ℝ≥0,+)을 이룬다는 논리적 사실로부터 물리적 시간 역행이 애초에 정의되지 않는 연산임을 보이고, 이 비대칭이 구체적 소산계에서 실현됨을 확인한다.이어 시간의 흐름이 요구하는 원점 무의존성에 이 논문이 채택한 최소성 원칙(자유 매개 변수 최소화)을 함께 적용하면 기존 이론의 가우시안 측도가 유일하게 남음을 보이고, 그 측도가 놓이는 공간이 가산 무한차원 분리가능 힐베르트 공간으로 자연스럽게 확정됨을 보인다. 나아가 구별가능성 보존이 요구하는 소산반군의 생성원을 역산하면, 구체적 공간 (특정차원이나 경계조건)을 미리 정하지 않고도 측도 자신의 정칙성 문턱과의 정합성만으로 생성원 Δ𝑒𝑛=𝑛^2𝑒𝑛이 유일하게 확정되며, 그 정칙성 문턱이 측도론적(𝑘 = 0)·위상적(𝑘 = 1)·소산적(𝑘 = 2) 층위로 이루어진 정규성 계층 𝛼 > 𝑘+ 1/2 으로 자연스럽게 조직됨을 보인다. 이 앞선 결과들로부터 관측의 최소 구조(SCP)와 순방향 조건(ODC)을 공리화 한다. 단일 생성원Δ가 시간에 대해 자기 자신으로 되돌아오는 조건(자기복귀)으로부터 오일러 항등식과 그로부터 확장되는 푸리에 급수가,그 생성원을 해석적으로 확장하는 윅 회전으로부터 슈뢰딩거형 방정식과 경로적분이 나온다. 같은 생성원의 역연산Δ−1은 그린함수를 거쳐 나비에‑스토크스방정식으로 이어지며, 보른 규칙은Δ가 도출되기도 전에 이미 확립된 초기 공분산 자신의 통계구조에서,파동함수라는 별도의 대상없이 나온다. 이러한 결과는 물리와 수학이 상태공간을 전제해 온 관행이, 상태 자체를 절대 원점으로두고 시간을 기술하던 뉴턴역학의 서술 관례였을 가능성을 시사한다. 이 관례를 걷어내도 같은 구조에 도달한다는 것이 이논문이 실제로 보인 것이며, 그렇다면 그 관례는 필연이 아니라 편의에 의한 것이라 해석가능하다. 나아가 이 생성원 Δ는 매 순환마다 이전 순환이 남긴 정보를 초기조건으로 물려받아 시간위에서 다시 작동하며 자기 자신으로 돌아오는 과정을 반복한다: 상태 자신은 순환이 끝날때마다 완전히 소멸하지만, 그 순환이 실행되는 동안 측도·위상·소산이라는 물리적 층이 새로 확정되어,그 층 자체가 공간이라는 구조로 다음 순환에 남겨진다.