The Mackey–Gleason–Bunce–Wright problem for vector-valued measures on projections in a $${\hbox {JBW}}^{*}$$-algebra

Abstract Let $$\mathscr {P}(\mathfrak {J})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> denote the lattice of projections of a $${\hbox {JBW}}^{*}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mmultiscripts> <mml:mrow> <mml:mtext>JBW</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mmultiscripts> </mml:math> -algebra $$\mathfrak {J}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>J</mml:mi> </mml:math> , and let X be a Banach space. A bounded finitely additive X -valued measure on $$\mathscr {P}(\mathfrak {J})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is a map $$\mu : \mathscr {P}(\mathfrak {J}) \rightarrow X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> satisfying ( a ) $$\mu (p +q) = \mu (p) + \mu (q)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , whenever $$p \circ q = 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in $$\mathscr {P}(\mathfrak {J})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , ( b ) $$\sup \{ \Vert \mu (p)\Vert : \, p \in \mathscr {P}(\mathfrak {J})\} &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>}</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper we establish a Mackey–Gleason–Bunce–Wright theorem by showing that if $$\mathfrak {J}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>J</mml:mi> </mml:math> contains no type <jats:inline-formula