The Hankel Structural Ceiling: A Universal Differential-Rank Bound for Time-Series Subspace Embeddings

Abstract — English We study the map that sends a real time series x ∈ ℝⁿ to the dominant rank-r spectral projector of its Hankel–Gram matrix A(x) = H(x)H(x)ᵀ, where H(x) ∈ ℝ^{a×b} and n = a + b − 1. On the regular domain defined by the strict spectral gap λ_r(A) > λ_{r+1}(A), we prove the universal differential-rank bound rank D(Φ_r ∘ A)_x ≤ min{ n−1, r(a−r), 3a−5 }. The three ceilings arise from radial invariance, the dimension of the Grassmannian, and a diagonal-displacement constraint specific to Hankel–Gram variations. Exact modular rank and 512-bit Arb ball arithmetic certify attainment of the structural ceiling at (11,20,5) and (12,22,6), where 3a−5 is strictly smaller than both competing ceilings. The certified ranks are 28 and 31. At both witnesses, W_H ∩ C_P = span{I, A} and Γ_{P,H} is injective. A basis-independent analytic rank invariant, ‖Λ^R G_x‖², then yields generic equality on the connected gap components containing the certified witnesses. Uniform generic equality for all admissible parameter triples remains open. The deposit provides the theorem, integer witnesses, rigorous certificates and reproducible scripts as an open mathematical instrument for time-series subspace analysis. Résumé — Français Nous étudions l'application qui associe à une série temporelle réelle x ∈ ℝⁿ le projecteur spectral dominant de rang r de sa matrice de Gram hankélienne A(x) = H(x)H(x)ᵀ, avec H(x) ∈ ℝ^{a×b} et n = a + b − 1. Sur le domaine régulier défini par le gap spectral strict λ_r(A) > λ_{r+1}(A), nous démontrons la borne universelle rank D(Φ_r ∘ A)_x ≤ min{ n−1, r(a−r), 3a−5 }. Les trois plafonds proviennent de l'invariance radiale, de la dimension de la Grassmannienne et d'une contrainte de déplacement diagonal propre aux variations Hankel–Gram. Le rang modulaire exact et l'arithmétique de boules Arb à 512 bits certifient l'atteinte du plafond structurel en (11,20,5) et (12,22,6), où 3a−5 est strictement inférieur aux deux plafonds concurrents. Les rangs certifiés valent 28 et 31. Aux deux témoins, W_H ∩ C_P = span{I, A} et Γ_{P,H} est injectif. L'invariant analytique de rang indépendant des bases ‖Λ^R G_x‖² fournit ensuite l'égalité générique sur les composantes connexes à gap ouvert contenant les témoins certifiés. L'égalité générique uniforme pour tous les triplets admissibles demeure ouverte. Le dépôt offre le théorème, les témoins entiers, les certificats rigoureux et les scripts reproductibles comme instrument mathématique ouvert pour l'analyse en sous-espaces des séries temporelles.