Gauge-covariant Raychaudhuri dynamics for spin-nondegenerate Lorentz-violating congruences

Abstract We investigate the Raychaudhuri dynamics of charged spin-nondegenerate Lorentz–violating particle congruences under minimal electromagnetic coupling. The coupling is introduced through the gauge-covariant momentum $$P_{\mu }=\pi _{\mu }-qA_{\mu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , so that the branch dispersion relation keeps its free functional form, while the electromagnetic field enters through the evolution of $$P_{\mu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . For a generic branch $${\mathcal {D}}^{(\pm )}(P)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , the tangent $$k^{\mu }_{(\pm )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> and the momentum Hessian $$M^{\mu \nu }_{(\pm )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> determine the covariant acceleration, $$a^{\mu }_{(\pm )}=-qM^{\mu \nu }_{(\pm )}F_{\nu \rho }k^{\rho }_{(\pm )}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> . As a consequence, the Raychaudhuri equation acquires the branch-dependent electromagnetic source $$-q\nabla _{\mu }\!\left( M^{\mu \nu }_{(\pm )}F_{\nu \rho }k^{\rho }_{(\pm )}\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mspace/> <mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msubsup> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> . We apply this construction to the $$b_{\mu }$$