Sharp inequalities between Zolotarev and Wasserstein distances in $$\mathcal {P}_2(\mathbb {R}^d)$$

Abstract Based on a new Kantorovich–Rubinstein duality principle for the Hessian that was recently established by the two authors, we extend the Rio inequality to any dimension $$d \ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> with an optimal constant. Similarly, we propose an optimal upper bound for the ratio of Zolotarev distance $$Z_2(\mu ,\nu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> to Wasserstein distance $$W_2(\mu ,\nu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> when $$\mu ,\nu \in \mathcal {P}_2(\mathbb {R}^d)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are centred probabilities with prescribed variances.