A Proof of Finite-Time Singularities for the 3D Navier–Stokes Equations

This study investigates the possibility of finite-time singularity formation in the three-dimensional incompressible Navier--Stokes equations by employing the hierarchical complex-number system and the Second Katsumoto Equation. Instead of treating the velocity field as the primary variable, the framework introduces the hierarchical structure $(K_{2}, K_{3}, K_{4})$ based on imaginary-entropy dynamics, enabling a geometric description of vortex, torsion, and diffusion concentration. In particular, we focus on a candidate singular structure in which vortices converge toward a single point from all directions and subsequently eject in a jet-like manner. We examine conditions under which each component of the hierarchical complex numbers may diverge in finite time. This paper aims to construct initial data that generate such concentration and lead to blow-up in the Navier--Stokes equations. 本研究では,3次元非圧縮 Navier--Stokes 方程式における有限時間特異点の形成可能性を,階層複素数体系および第2勝方程式を用いて解析する。速度場を基本変数とせず,虚部エントロピー力学に基づく階層構造($K_{2}, K_{3}, K_{4}$)を導入することで,渦・捩じれ・拡散の集中過程を幾何学的に記述する。 特に,全方向から渦が一点に収束し,同一点からジェット状に噴き出す構造を特異点候補として取り上げ,階層複素数の各成分が有限時間で発散しうる条件を検討する。本論文は,この集中構造が Navier--Stokes方程式における blow-up を引き起こす初期条件の構成を試みるものである。