Riesz logarithmic means of subsequences of partial sums of trigonometric Fourier series

Abstract Let ( a ( j )) be an unbounded convex sequence of natural numbers. In 1983, Carleson [7] proved that a necessary and sufficient condition for the ( C , 1) means of $$(S_{a(j)}f)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> (partial Fourier sums) to converge uniformly to f in the supremum norm is $$\sup _j j^{-1/2}\log a(j) &lt;+\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>sup</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In this paper, we prove that if we consider Riesz logarithmic means instead of ( C , 1) means, then almost everywhere convergence holds for any integrable function and for any convex ( a ( j )). That is (see Corollary 1.3): Let ( a ( j )) be any unbounded convex sequence of natural numbers and $$f\in L^1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . Then the following convergence holds almost everywhere: $$ \frac{1}{\log n}\sum _{j=1}^{n}\frac{S_{a(j)}f}{j} \rightarrow f. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:munderover> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> In fact, we verify a more general statement (see Theorem 1.1).