NNLO QCD corrections to D-wave spin-singlet heavy quarkonia decay $$\eta _{Q2}\rightarrow \gamma \gamma $$ via the principle of maximum conformality

Abstract In this paper, we perform a comprehensive study of the decay process $$\eta _{Q2}\rightarrow \gamma \gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for D -wave spin-singlet heavy quarkonia up to next-to-next-to-leading-order (NNLO) QCD corrections within the nonrelativistic QCD theory. Following its factorization formalism, the total decay width is decomposed into perturbatively calculable short-distance coefficients and nonperturbative D -wave long-distance matrix elements (LDMEs). The initial NNLO expansion series suffers from significant renormalization and factorization scale ambiguities. We show that recursively applying the renormalization group equations governing both the running of $$\alpha _s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and the evolution of D -wave LDMEs within the Principle of Maximum Conformality (PMC) framework yields an effective strong coupling $$\alpha _s(Q_*)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> fully consistent with the perturbative expansion coefficients, which produces a precise scale-invariant perturbative series. The determined PMC scales are $$Q_*=1.483$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1.483</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> GeV for $$\eta _{c2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> and $$Q_*=4.246$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mmultiscripts> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow/> </mml:mmultiscripts> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4.246</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> GeV for $$\eta _{b2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> . By eliminating divergent renormalon contributions, the PMC naturally improves the convergence property of the series. Our PMC predictions for the total decay widths are $$\varGamma _{\eta _{c2}\rightarrow \gamma \gamma }^\textrm{PMC} = 3.322^{+0.899}_{-0.828}\ \text {eV}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mi>γ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mtext>PMC</mml:mtext> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mn>322</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>0.828</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>0.899</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mspace/> <mml:mtext>eV</mml:mtext> </mml:mrow> </mml:math> and $$\varGamma _{\eta _{b2}\rightarrow \gamma \gamma }^\textrm{PMC} = 0.0188^{+0.0014}_{-0.0013}\ \text {eV}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>b</mml:mi>