On the Gradient of the Torsion Function for Elongated Cylinders

Abstract Let $$(0,L)\times E_a\subset \mathbb {R}^{d+1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> denote the cylinder of length L , and base $$E_a\subset \mathbb {R}^{d},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$E_a$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is an open ellipsoid with semi-axes $$a=(a_1,...,a_d)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Let $$w_{(0,L)\times E_a}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> denote its torsion function. Heat equation tools are used to show that (i) if $$E_a$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> has small eccentricity and L is sufficiently large, then the maxima of $$|\nabla w_{(0,L)\times E_a}|$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are located at the centres (0, 0) and ( L , 0) respectively, (ii) if $$E_a$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> has large eccentricity and L is sufficiently large, then the maxima are located on the lateral side of the cylinder.