On infinite dimensional algebras with regular gradings

Abstract Let G be a finite abelian group and let K be an algebraically closed field of characteristic 0. We consider associative unital algebras A over K graded by G , that is $$A=\oplus _{g\in G} A_g$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>⊕</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , where the vector subspaces $$A_g$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> satisfy $$A_gA_h\subseteq A_{g+h}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> for every g , $$h\in G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Such a G -grading is called regular whenever for every n -tuple $$(g_1,\ldots ,g_n)\in G^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> there exist homogeneous elements $$a_i\in A_{g_i}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> such that $$a_1\cdots a_n\ne 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in A ; furthermore, for every g , $$h\in G$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and every $$a_g\in A_g$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> , $$a_h\in A_h$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi>