On Sums of Two Squares, Two Cubes, and Higher Powers of Primes

Abstract We show that every sufficiently large odd integer n can be represented as $$\begin{aligned} n&amp;= p_1^2 + p_2^2 + p_3^3 + p_4^3 + p_5^r + p_6^s + p_7^t, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where each $$p_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is prime, and r , s , t are fixed integers satisfying either $$(r,s,t)=(3,4,t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with $$t \ge 5$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , or $$3 \le r \le s \le 6$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> with $$t \ge 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$(r,s)\ne (3,3),(3,4)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .