Caracterización de datos atípicos deterministas en sistemas de entropía finita: Un enfoque mediante razones logarítmicas de densidad a la luz del contraejemplo a la conjetura jacobiana (Alpöge, 2026)

Este trabajo propone un marco teórico para la caracterización de datos atípicos en sistemas de información de entropía finita. El enfoque fue desarrollado de manera independiente y previa a la aparición del reciente contraejemplo de Alpöge (2026) a la conjetura jacobiana; sin embargo, dicho resultado matemático proporciona un respaldo formal sustancial a nuestra tesis central: la regularidad local de un sistema no garantiza su estabilidad global cuando la dimensión del espacio supera un umbral crítico. A partir de esta lección metodológica —ahora justificada y contextualizada por un avance en matemáticas puras—, el trabajo traslada esa intuición al ámbito de la ciencia de datos, sosteniendo que un punto con baja densidad local —y que por tanto sería candidato a ser eliminado por los métodos tradicionales— puede, paradójicamente, ser estructuralmente relevante para la organización global del conjunto de datos. Para abordar esta cuestión sin recurrir a transformaciones lineales globales, se introduce un protocolo de análisis en dos etapas. En la primera, se estima la densidad local de cada observación mediante técnicas de kernel, y se calcula una razón logarítmica que mide cuánto distorsiona la presencia de ese punto la densidad de su propia vecindad. En la segunda, se cuantifica el impacto de cada punto sobre el sistema completo, midiendo la variación que experimenta la entropía de Shannon global al eliminarlo. Esta doble métrica permite distinguir entre atípicos espurios —aquellos que solo generan ruido local pero no afectan la estructura global— y atípicos deterministas: puntos que, aunque localmente anómalos, fijan restricciones de rango o relaciones de escala entre las variables, y cuya remoción provoca una caída significativa de la entropía global. La contribución fundamental es de naturaleza teórica y metodológica. El estudio ilustrativo sobre datos sintéticos se presenta exclusivamente como prueba de concepto, sin pretensión de validez estadística ni generalización empírica; su único fin es demostrar que las métricas propuestas son operativas y pueden revelar diferencias cualitativas entre tipos de atípicos. Se discuten posibles aplicaciones futuras en dos áreas: el monitoreo estructural, donde un sensor con lecturas atípicas pero alto impacto entrópico podría señalar un punto de fallo incipiente; y la interpretabilidad de redes neuronales profundas, donde ciertas muestras de entrenamiento con baja densidad local pero alta influencia global podrían ser clave para la generalización del modelo. También se señala la sensibilidad del método al parámetro de suavizado y se deja para investigaciones posteriores el desarrollo de criterios automáticos para la selección de umbrales.