A half-shift reflection identity for the digamma function

Abstract We prove the identity $$ 2W_1(x) + \log 4 + \psi \left( \tfrac{1}{2} + x\right) + \psi \left( \tfrac{3}{2} - x\right) = 0, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$\psi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:math> is the digamma function and $$ W_1(x) = 2\int _0^\infty \Re \left( \frac{y}{(y^2+1)(e^{\pi (y+2ix)} - 1)} \right) dy. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msubsup> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>ℜ</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> The identity was first conjectured while studying class number h ( D ) for $$D=m^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> from two complementary perspectives. Our proof, however, is purely analytic: we compute cosine-series expansions of both sides, expressed in terms of the cosine integral $$\operatorname {Ci}(z)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>Ci</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . Using the above identity and Möbius inversion we find an elementary formula for $$\begin{aligned} \sum _{\begin{array}{c} 1\le r&lt;m\ (r,m)=1 \end{array}} W_1\!\left( \frac{r}{m}\right) . \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi>