A way to construct strongly summing and dominated multilinear operators

Abstract Let $$V_{1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> , ..., $$V_{k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> be non-null bounded multilinear operators, $$ T:Y_{1}\times \cdot \cdot \cdot \times Y_{k}\rightarrow Z$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> a bounded multilinear operator with the property that there exists $$m&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> such that $$ \left\| T\left( y_{1},...,y_{k}\right) \right\| \ge m\left\| y_{1}\right\| \cdot \cdot \cdot \left\| y_{k}\right\| $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> for all $$ \left( y_{1},...,y_{k}\right) \in Y_{1}\times \cdot \cdot \cdot \times Y_{k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Y</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> and $$1\le p&lt;\infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We prove that $$T\circ \left( V_{1},...,V_{k}\right) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:math> is strongly p -summing (resp. p -dominated) if and only if all $$V_{i}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> are strongly <jats:i