Certain real surfaces in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> with isolated singularities

The surfaces in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> with an isolated CR singularity at the origin and with cubic lowest degree homogeneous term in its graph near the origin, under certain geometric condition, can be reduced — up to biholomorphism of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> — to a one-parameter family of the form <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced close="}" open="{" separators=""> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℂ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mover> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:msup> <mml:mover> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mover> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfenced> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> near the origin. We prove that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is not locally polynomially convex if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . The local hull contains a ball centred at the origin if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msqrt> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We also prove that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is locally polynomially convex for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> . We show that, for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msqrt> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , the local hull of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> contains a one-parameter family of analytic discs passing through the origin. We also prove that, if we remove the higher order terms from the graphing function of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , it is locally polynomially convex for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn>15</mml:mn> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mn>33</mml:mn> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msqrt> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:math> . Some new results about the local polynomial convexity of the union of three totally-real planes are also reported.