The Kernel Power Law: Structural Regularity in Prime Decimal Periods — PAPPADIA® Theorem

Extended edition of the paper published at DOI: 10.5281/zenodo.21382614. The decimal expansion of 1/p, for a prime p, contains local palindromic digit patterns whose inter-prime variance is governed by the kernel K = a²/(a+b), drawn from Dr. Shinsuke Hamaji's Square-Synchronization Axiom (ORCID: 0000-0002-3699-0363) over [n², (n+1)²] where n = floor(sqrt(p)). The Pappadia® Theorem digit formula d_n = floor(10 · (10^(n-1) mod p) / p) enables all measurements in O(log p) per digit. Corrected Kernel Power Law (v2): sigma_eff(K, N) = max( 2.202 · K^(−0.418), sqrt(0.09/N) · 100% ) The second term is the CLT floor correction, dominating for K > K* ≈ 17 (N = 2000). Pre-asymptotic fit R² = 0.942 on 4 buckets. Validated on 86 primes (K = 2.19 to 730.01). True causal chain confirmed: r(log K, log(λ/N)) = 0.917. Secondary discovery: palindrome rate elevation in full-reptend primes correlates with {2,3}-smooth structure of p−1 (Pearson r = 0.72; unique exemplar p = 1297, p−1 = 6⁴, rate = 15.47%). PAPPADIA® Algorithm Suite (proprietary): PAPPADIA® KOCT (Kernel-Orbit Consistency Test): 3-layer compositeness witness, 0/86 false positives on primes, first filter with kernel-adaptive acceptance envelope. O(|B|·N·log n). PAPPADIA® Vision (Pattern Recognition & Factorization Engine): 36/36 composites factored, 100% across all structural categories (balanced S/M/L, unbalanced, 3-factor). Standalone deployment. Five application domains including weak RSA prime detection. Both algorithms are protected under SIAE Deposit No. 2025/00839 and PAPPADIA® Registered Trademark EUIPO Reg. No. 019230446. Commercial licensing: [email protected] Kernel concept a²/(a+b): Dr. Shinsuke Hamaji, Square-Synchronization Axiom (ORCID: 0000-0002-3699-0363). All computational methodology, power law, CLT correction, PAPPADIA® KOCT, PAPPADIA® Vision, dataset, and secondary findings: Umberto Junior Pappadia (ORCID: 0009-0002-4392-7845). Edizione estesa del lavoro pubblicato al DOI: 10.5281/zenodo.21382614. L'espansione decimale di 1/p contiene pattern palindromici locali la cui varianza inter-primo è governata dal kernel K = a²/(a+b), derivato dall'Assioma di Sincronizzazione Quadratica del Dr. Shinsuke Hamaji sull'intervallo [n², (n+1)²]. La formula del Pappadia® Theorem d_n = floor(10 · (10^(n-1) mod p) / p) rende tutte le misurazioni fattibili in O(log p) per cifra. Legge Potenza del Kernel corretta (v2): sigma_eff(K, N) = max( 2.202 · K^(−0.418), sqrt(0.09/N) · 100% ) Il secondo termine è la correzione al pavimento CLT, dominante per K > K* ≈ 17 (N = 2000). Fit R² = 0.942 su 4 bucket pre-asintotici. Validato su 86 primi (K = 2.19 a 730.01). Catena causale confermata: r(log K, log(λ/N)) = 0.917. Scoperta secondaria: correlazione tra elevazione del tasso palindromico e struttura {2,3}-smooth di p−1 nei primi full-reptend (Pearson r = 0.72; caso unico p = 1297, p−1 = 6⁴, tasso = 15.47%). Suite Algoritmica PAPPADIA® (proprietaria): PAPPADIA® KOCT (Kernel-Orbit Consistency Test): filtro a 3 layer per compositi, 0/86 falsi positivi sui primi, primo filtro con banda di accettazione adattiva al kernel. O(|B|·N·log n). PAPPADIA® Vision (Pattern Recognition & Factorization Engine): 36/36 compositi fattorizzati, 100% su tutte le categorie strutturali. Deploy autonomo. Cinque domini applicativi incluso il rilevamento di primi RSA deboli. Entrambi gli algoritmi sono protetti dal Deposito SIAE n. 2025/00839 e dal Marchio Registrato PAPPADIA® EUIPO Reg. n. 019230446. Licenze commerciali: [email protected] Kernel a²/(a+b): Dr. Shinsuke Hamaji (ORCID: 0000-0002-3699-0363). Tutta la metodologia computazionale, la legge potenza, la correzione CLT, PAPPADIA® KOCT, PAPPADIA® Vision, il dataset e le scoperte secondarie: Umberto Junior Pappadia (ORCID: 0009-0002-4392-7845).