Large orbits of Hall subgroups of solvable linear groups

Abstract Suppose that G is a finite solvable group and let H be a Hall $$\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:math> -subgroup, let b ( H ) be the largest character degree of H , we show that $$|G:O_{\pi ' \pi }(G)|_{\pi } \le b(H)^2.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>