Solubility of a family of conics with polynomial coefficients in many variables

Abstract We study the proportion of conics given by $$(\mathcal {C}_{\varvec{F}, \varvec{y}}): F_0(\varvec{y})x_0^2 + F_1(\varvec{y})x_1^2 = F_2( \varvec{y})x_2^2 $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> which have a rational point $$\varvec{x} = (x_0:x_1:x_2) \in \mathbb {P}^2(\mathbb {Q})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\varvec{y} = (y_0: \dots : y_n)\in \mathbb {P}^n(\mathbb {Q})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$F_0,F_1,F_2 \in \mathbb {Z}[X_0,\ldots , X_n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> are homogeneous polynomials in many variables of the same degree d . We provide an asymptotic formula for the number of $$\varvec{y}$$ <mml:math xmlns:mml="http: