Convergence of Nekrasov instanton sum with adjoint matter

The Nekrasov instanton partition function of the 4d \mathcal{N}=2^* <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">𝒩</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>*</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> U(N) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> gauge theory (a mass deformation of 4d \mathcal{N}=4 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="script">𝒩</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> super-Yang-Mills theory), which is a generating series of equivariant integrals over instanton moduli spaces, is given by a sum over colored partitions weighted by a counting parameter q <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:math> . This note proves convergence of the series in the unit disk |q|&lt;1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for generic parameters. Specifically, the absolute convergence radius of this sum is determined, assuming that mass and Coulomb branch parameters avoid some lattice. If the ratio b^2=\epsilon_1/\epsilon_2 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>/</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>ϵ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> of equivariant parameters is in {\mathbb{C}\setminus[0,+∞)} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">ℂ</mml:mi> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>+</mml:mi> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , the radius is 1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , as expected. If b^2 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> is non-negative, three cases arise: the radius is finite if b^2 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> has finite exponential type (a generalization of Brjuno numbers), namely there exists C&gt;0 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> such that |b^2-p/q|&gt;\exp(-Cq) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>/</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">|</mml:mo> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">exp</mml:mi> <mml:mo>⁡</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mi>−</mml:mi> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> for all integers p,q≠ 0 <mml:math xmlns:mml="http:/