Axisymmetric solutions of the $$\lambda $$-singular minimal surface equation

Abstract Given a unit vector $$\vec {v}\in \mathbb {R}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$\lambda ,\alpha \in \mathbb {R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , a surface $$\Sigma \subset \mathbb {R}^3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Σ</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is called $$\lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:math> -singular minimal surface if its mean curvature H satisfies $$H(p)=\alpha \frac{\langle N(p),\vec {v}\rangle }{\langle p,\vec {v}\rangle }+\lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> for all $$p\in \Sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where N is the unit normal to $$\Sigma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Σ</mml:mi> </mml:math> . In this paper, we study the axisymmetric solutions of this equation, identifying two types of surfaces depending on whether the rotation axis is parallel or orthogonal to $$\vec {v}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mover> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> </mml:mover> </mml:math> . For the first type, we prove the existence of surfaces that orthogonally intersect the rotation axis. For the second type, we provide a complete geometric description.