Local strong solutions in a quasilinear Moore-Gibson-Thompson type model for thermoviscoelastic evolution in a standard linear solid

Abstract This manuscript is concerned with the evolution system $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l}u_{ttt} + \alpha u_{tt} = \big (\gamma (\Theta ) u_{xt}\big )_x + \big ( \widehat{\gamma }(\Theta ) u_x\big )_x, \ \Theta _t = D \Theta _{xx} + \Gamma (\Theta ) u_{xt}^2, \end{array} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ttt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>tt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xt</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mover> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xx</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>xt</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> which arises as a simplified model for heat generation during acoustic wave propagation in a one-dimensional viscoelastic medium of standard linear solid type. Under the assumptions that $$D&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\alpha \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and that $$\gamma , \widehat{\gamma }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mo>^</mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> </mml:math> and $$\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Γ</mml:mi>