On counterexamples to interior $$C^2$$ estimates for Monge-Ampère type equations

Abstract We modify Pogorelov’s classic construction to demonstrate the absence of a priori $$C^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> estimates for the equations $$\det (D^2 u \pm Du \otimes Du) = f(x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>det</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>±</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in dimension $$n \ge 3$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We construct a sequence of solutions $$z_\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> with second derivatives blowing up at the origin as $$\varepsilon \rightarrow 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , while the corresponding right-hand sides $$f_\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> admit uniform $$C^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> estimates. Specifically, the counterexamples are given by $$z_\varepsilon (x_1, \dots , x_n) = (1+x_1^2)(1+x_2^2)(\varepsilon ^2 + \eta ^2)^{\alpha /2},$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$\eta = \sqrt{x_3^2 + \dots + x_n^2}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow>