Binomial prolate spheroidal functions, Pascal matrices, and arithmetic of elliptic curves

The <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> symmetric Pascal matrix <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is a generalized discrete time and band-limiting operator for the binomial transform and its eigenvectors are generalized discrete prolate spheroidal wave functions which we call binomial prolates. Their generating functions are also generalized prolate spheroidal functions in the sense that they are simultaneously eigenfunctions of a third-order differential operator and an integral operator over the line <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mtext>Re</mml:mtext> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . For even, positive integers N , we obtain an explicit formula for the generating function of an eigenvector of the symmetric Pascal matrix with eigenvalue 1. When <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for an odd prime p , we show that the generating function is equivalent modulo p to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo>#</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> , where <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mo>#</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is the number of points on the Legendre elliptic curve <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> over the finite field <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="double-struck">F</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . Furthermore when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , our generating function is the square of a period of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>z</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> modulo <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> in the open p -adic unit disk.