Invariant geodesic orbit metrics on homogeneous spaces with intermediate subgroups

In this paper, we study <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> -g.o. metrics on compact homogeneous spaces <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with an intermediate subgroup <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:math> such that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In the beginning, we prove that the restricted metrics of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are both g.o. metrics under certain conditions when <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:math> is a <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> -g.o. metric on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Then we develop several methods to determine <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> -g.o. metrics on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> by the representations of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . As an application, we study g.o. metrics on a class of homogeneous spaces and find that <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">SO</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>11</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Spin</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">SO</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> admits non-naturally reductive g.o. metrics.