The modified energy method for quasilinear wave equations of Kirchhoff type

In this paper, we use the <italic>modified energy method</italic> of Hunter, Ifrim, Tataru, and Wong to prove an improved quintic energy estimate for initial data small in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove upper H With dot Subscript x Superscript 1 Baseline times upper L Subscript x Superscript 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo> ˙ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\dot H^1_x \times L^2_x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for a wide class of quasilinear wave equations of Kirchhoff type. This allows us to make the first steps towards small data <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript x Superscript 5 slash 4 Baseline times upper H Subscript x Superscript 1 slash 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^{5/4}_x \times H^{1/4}_x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> local well-posedness. In particular, we prove an enhanced lifespan for corresponding solutions depending only on the <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove upper H With dot Subscript x Superscript 5 slash 4 Baseline times ModifyingAbove upper H With dot Subscript x Superscript 1 slash 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo> ˙ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo> ˙ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\dot H^{5/4}_x \times \dot H^{1/4}_x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> norm of the initial data as well as the existence of weak solutions for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper H Subscript x Superscript 5 slash 4 Baseline times upper H Subscript x Superscript 1 slash 4"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">H^{5/4}_x \times H^{1/4}_x</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> initial data, again small in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="ModifyingAbove upper H With dot Subscript x Superscript 1 Baseline times upper L Subscript x Superscript 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo> ˙ </mml:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo> × </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\dot H^1_x \times L^2_x</mml:annotation>