Towards a function theory of complexified octonions

Abstract In this article we study function theory in the 16-dimensional space of complexified octonions $$\mathbb {O}_{\mathbb {C}}=\mathbb {C}\otimes \mathbb {O}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mi>C</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>⊗</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We define the complexified octonionic Cauchy–Riemann operator $$ D=\sum _{j=0}^7 e_j\partial _{z_j} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mi>e</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> where $$\partial _{z_j}{:=}\partial _{x_j}+i\partial _{y_j}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> for $$j=0,1,...,7$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . This operator together with its octonionic conjugate factorize the ultrahyperbolic operator $$ \mathcal {L}=D\overline{D}=\overline{D}D=\sum _{j=0}^7 \partial _{z_j}^2. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mover> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>¯</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>7</mml:mn> </mml:munderover> <mml:msubsup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> In real coordinates we obtain a Lichnerowicz-Weitzenböck type formula of the form $$ \mathcal {L} = \Delta _x - \Delta _y + 2i \langle \partial _x, \partial _y \rangle $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> One main goal of this paper consists in investigating the fundamental solution and polynomial solutions of the operator $$\mathcal {L}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> . The set of polynomial solutions is completely described by proposing explicit basis constructions and dimension formulae. Another main goal that is to carefully fig