TRIXEL

PIXEL (2D) → VOXEL (3D) → TRIXEL (nD) Abstract (EN):We introduce the trixel, a new mathematical–physical object defined as the minimal tripletT = (V, D, S), integrating existence, intrinsic dynamics, and structural organization into a single formal unit. Unlike traditional representational models—such as pixels, voxels, fields, fractals, or tensor structures—which encode only measurements or geometric patterns, the trixel aims to represent the phenomenon itself rather than its observational imprint. We develop a rigorous definition of the trixel by specifying the underlying spaces V, D_S, and S, equipping the trixel space with a fiber‑bundle structure π : T → S_bun that captures the intrinsic dependence of dynamics on structure, and introducing metrics via the Banach norm, the resolvent metric on unbounded operators, and the Gromov–Hausdorff distance on compact metric spaces. Canonical weights for the composite metric are determined by spectral normalization. Trixel equivalence is defined through the orbits of an admissible transformation group G acting isometrically on T, yielding an orbital metric on the Hausdorff quotient T/G. We further introduce a trixel evolution system and formulate scale‑invariant transformations. Classical representations—pixels, fields, fractals, tensor fields—arise as degenerate fibers, demonstrating the unifying role of the trixel across discrete, continuous, and multi‑scale frameworks. --- Abstrakt (SK):PIXEL (2D) → VOXEL (3D) → TRIXEL (nD) Predstavujeme trixel, nový matematicko‑fyzikálny objekt definovaný ako minimálna trojicaT = (V, D, S), integrujúca existenciu, vnútornú dynamiku a štrukturálnu organizáciu do jedného formálneho celku. Na rozdiel od tradičných reprezentácií — ako sú pixely, voxely, polia, fraktály či tenzorové štruktúry — ktoré zachytávajú iba merania alebo geometrické vzory, trixel reprezentuje samotný fenomén, nie jeho pozorovanú stopu. Formálne definujeme trixel špecifikovaním priestorov V, D_S a S, zavedením vláknového zväzku π : T → S_bun, ktorý zachytáva vnútornú závislosť dynamiky od štruktúry, a definovaním metrík pomocou Banachovej normy, resolventnej metriky na neobmedzených operátoroch a Gromov–Hausdorffovej vzdialenosti na kompaktných metrických priestoroch. Kanonické váhy kompozitnej metriky sú určené spektrálnou normalizáciou. Ekvivalenciu trixelov definujeme pomocou orbitov pôsobenia prípustnej transformačnej skupiny G, ktorá pôsobí izometricky na T, čím získavame orbitálnu metriku na Hausdorffovom kvociente T/G. Ďalej zavádzame evolučný systém trixelu a formulujeme škálovo invariantné transformácie. Klasické reprezentácie — pixely, polia, fraktály, tenzorové polia — vznikajú ako degenerované vlákna, čo ukazuje zjednocujúcu úlohu trixelu naprieč diskrétnymi, spojitými aj viacúrovňovými rámcami.