Morse Decompositions on Flag Bundles and Uniform Bounds of Cocycles

Abstract Consider a principal bundle $$Q\rightarrow X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with structural group G , which we assume to be a semi-simple or reductive Lie group. A flow $$\phi _{t}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> of automorphisms of Q induces a flow on the associated bundle $$\mathbb {E}=Q\times _{G}\mathbb {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:msub> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\mathbb {F}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:math> is the maximal flag bundle of G . If we consider an ergodic probability measure on the compact base space X , this flow induces two decompositions of the flag bundles associated to Q : a continuous one given by the finest Morse decomposition and a measurable one furnished by the multiplicative ergodic theorem. The polar decomposition of $$G=K\left( \textrm{cl} A^{+}\right) K$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mfenced> <mml:mtext>cl</mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> yields a map $$\textsf{a}^{+}(n,x)\in \textrm{cl}A^{+}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mtext>cl</mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> over the flow induced on X . In this paper we prove a condition, called uniformity condition , which relates the Morse flag type $$\Theta _{\textrm{Mo }}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Θ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mtext>Mo</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> to uniform lower bounds of the cocycle $$\textsf{a}_{\alpha }^{+}(n,x)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$ x\in X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> .