Study of $$\chi _{cJ}\rightarrow \eta \eta \eta ^\prime $$ via intermediate charmed meson loop mechanisms and its implications for non-observation of $$\eta _1(1855)$$ in $$\chi _{cJ}$$ decays

Abstract Recently, the BESIII Collaboration reported the first observation of the decays $$\chi _{cJ} \rightarrow \eta \eta \eta ^\prime $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cJ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> in order to search for the $$1^{-+}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> exotic state $$\eta _1(1855)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1855</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . A partial wave analysis of the $$\eta \eta ^\prime $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> invariant mass spectrum shows no significant signal for the $$\eta _1(1855)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1855</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . In this work, we, using an effective Lagrangian approach, investigate the processes $$\chi _{cJ} \rightarrow \eta \eta \eta ^\prime $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cJ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> via the box and triangle loops involving charmed mesons and the scalar meson $$f_0(1500)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1500</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Our calculations reproduce well the experimental branching fractions of $$\chi _{cJ} \rightarrow \eta \eta \eta ^\prime $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>cJ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . Furthermore, we present the predictions of the relevant invariant mass spectra of $$\eta \eta ^\prime $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$\eta \eta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mi>η</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> produced in the $$\chi _{c1}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> decay, which seem overall consistent with the BESIII measurements. In the present model, the decay $$\chi _{c1} \rightarrow \eta \eta \eta ^\prime $$