Spectral Dissipation Structures and Generator Regularity Hierarchies in Dissipative Covariance Flows: Directional Dissipative Resolution and Sobolev Extension

This paper investigates the structural recurrence of spectral irreversibility in dissipative covariance flows from three independent analytical layers: topological, measure-theoretic, and spectral. Starting from the KL divergence structure established in prior work [2], we verify that both the Fisher-Rao metric and the KL divergence fail to track dissipative directionality in the infinite-dimensional limit, and define a dissipative path functional I_dir(t) = Tr((∂_t C_t) C_t⁻¹ (∂_t C_t)) = 4 Σ n^{4-2α} e^{-2n²t} that tracks the spectral irreversibility of the flow. This functional is not an information metric on a statistical manifold, but a Lyapunov-type dissipative observable derived from the heat semigroup generator. The principal outcome is the emergence of a common spectral regularity hierarchy α > k + 1/2 (k = 0, 1, 2) shared across all three layers, corresponding precisely to the Sobolev spaces H^k on ℓ². The convergence of I_dir is guaranteed solely by t > 0, independently of the Gaussian measure existence condition, suggesting extensibility to broader dissipative systems. This paper is the third in a series: [1] established operational distinguishability collapse for dt < 0, and [2] reformulated this in infinite-dimensional measure theory. --- 본 논문은 소산적 공분산 흐름에서 스펙트럼 비가역성의 구조적 반복을 위상, 측도론, 스펙트럼의 세 독립적 층위에서 분석한다. 선행 연구 [2]의 KL 발산 구조를 출발점으로, 무한차원 극한에서 Fisher-Rao 계량과 KL 발산 모두 소산 방향성을 추적하지 못함을 확인하고, 소산적 공분산 흐름의 스펙트럼 비가역성을 추적하는 소산 경로 범함수 I_dir(t) = Tr((∂_t C_t) C_t⁻¹ (∂_t C_t)) = 4 Σ n^{4-2α} e^{-2n²t} 를 정의한다. 이 범함수는 통계 다양체의 정보 계량이 아니라 열반군 생성원으로부터 도출되는 Lyapunov형 소산 관측량이다. 본 논문의 핵심 결과는 측도론, 위상, 소산 범함수라는 세 독립적 층위가 공통 스펙트럼 정칙성 계층 α > k + 1/2 (k = 0, 1, 2)를 공유한다는 구조적 발견이며, 이 계층은 ℓ² 위의 Sobolev 공간 H^k와 정확히 대응한다. I_dir의 수렴은 t > 0 조건 하나로 보장되며 상태공간에 무관하게 성립한다. 본 논문은 시리즈의 세 번째로, [1]은 dt < 0 방향의 연산적 구별 가능성 붕괴를, [2]는 이를 무한차원 측도론으로 재정식화하였다. Keywords: dissipative covariance flow, spectral regularity hierarchy, Sobolev spaces, Fisher-Rao metric, Feldman-Hajek theorem, heat semigroup, infinite-dimensional Gaussian measures, directional dissipative resolution