K-positivity preserver of matrix polynomials

Abstract For any closed $$K\subseteq \mathbb {R}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>⊆</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , recently all K -positivity preserver have been characterized, i.e., all linear operators $$T:\mathbb {R}[x_1,\dots ,x_n]\rightarrow \mathbb {R}[x_1,\dots ,x_n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> such that $$Tp\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on K for all $$p\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> on K . An important extension of polynomials $$\mathbb {R}[x_1,\dots ,x_n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with real coefficients are polynomials $$\mathbb {R}^{m\times m}[x_1,\dots ,x_n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> with matrix coefficients. Non-negativity on K for matrix polynomials with Hermitian coefficients $$\textrm{Herm}_m$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mtext>Herm</mml:mtext> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is then $$p(x)\succeq 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>⪰</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> for all $$x\in K$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In the current work, we investigate linear operators $$T:\textrm{Herm}_m[x_1,\dots ,x_n]\rightarrow \textrm{Herm}_m[x_1,\dots ,x_n]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml