Modular forms for $${{\,\textrm{GL}\,}}(r, \mathbb {F}_{q}[T])$$: Hecke operators and growth of expansion coefficients

Abstract We determine the action of the Hecke operators $$T_{\mathfrak {p},i}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> on the coefficient forms $$g_{1}, \ldots , g_{r-1}, g_{r} = \Delta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>r</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and h , which together generate the ring of modular forms for $${{\,\textrm{GL}\,}}(r, \mathbb {F}_{q}[T])$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>GL</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . All these are eigenforms with powers of $$\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:math> as eigenvalues, where $$\pi $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:math> is the monic generator of the prime ideal $$\mathfrak {p}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> of $$\mathbb {F}_{q}[T]$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . We further describe the growth of the t -expansion coefficients of the discriminant function $$\Delta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Δ</mml:mi> </mml:math> . It is such that the product expansion of $$\Delta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Δ</mml:mi> </mml:math> as well as the t -expansion of each modular form converges on the natural fundamental domain for $${{\,\textrm{GL}\,}}(r, \mathbb {F}_{q}[T])$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>GL</mml:mtext> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .