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We construct a four-variable <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> -adic <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> -function for cuspidal Hida families on <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">GSp</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">GL</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and prove a complete interpolation formula for it. The Archimedean zeta integrals are computed by using a partial interpolation formula for the four-variable <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> -adic <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> -function, combined with Yoshida lifts and some previously constructed <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> -adic <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> -functions—specifically Kubota–Leopoldt <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> -adic <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> -functions, Rankin–Selberg <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> -adic <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> -functions, and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:math> -adic (standard) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:math> -functions for <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Sp</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> .