Triptych-GUT V2: the SO(10)/Pati-Salam branch at one-loop level via the TC spectral action

DESCRIPTION (EN) This manuscript presents the unifying SO(10)/Pati-Salam branch of the Triptych framework (Conceptual Triptych, TC + Extended Triptych, TE), a theoretical programme deriving extended Standard Model structure from the Madelung decomposition, algebraic fixed points and the conformal spectral action. The central result is the one-loop closure of Pati-Salam quasi-unification from the fermion Hilbert-space structure. The spectral trace over H_F ⊕ H̄_F imposes Δb(4C) = 4, independently of the coupling normalisation, yielding b(4C) = -20/3 and a maximal discrepancy of 0.36 units. The gauge structure, fermion generations and mass ratios are encoded in the algebraic fields Z[√2], Q(√5) and Q(√6), and their composita. The Weinberg angle sin²θ_W = (2−√2)/4, the strong coupling α_s = 3/(8π), and the generation number N_f = 3 are exact algebraic outputs of this structure. Annexes A–F cover: the TC theorem table, the SO(10)→PS→SM structure with anomaly cancellation, effective renormalisation-group running, GUT-normalised hypercharge matching, spectral-action closure, and robustness analysis (PS/TC Lagrangian, non-degenerate heavy thresholds, proton decay). The LR symmetry Δ(2L−2R) = −0.18 is rigorously preserved under thresholds. The estimated proton lifetime τ_p ~ 6×10^39 yr is compatible with Super-Kamiokande bounds; the V(B-L) leptoquarks conserve B-L and do not generate the p → e+ π0 mode. Two-loop corrections, the complete Yukawa sector and the full proton-decay operator analysis are reserved for V2.1. DESCRIPTION (FR) Ce manuscrit présente la branche unificatrice SO(10)/Pati-Salam du cadre Triptyque (Triptyque Conceptuel, TC + Triptyque Étendu, TE), un programme théorique dérivant la structure du Modèle Standard étendu depuis la décomposition de Madelung, les points fixes algébriques et l’action spectrale conforme. Le résultat central est la fermeture à une boucle de la quasi-unification Pati-Salam. La trace spectrale sur H_F ⊕ H̄_F impose Δb(4C) = 4, indépendamment de la normalisation du couplage, donnant b(4C) = -20/3 et un écart maximal de 0,36 unité. La structure de jauge, les générations de fermions et les rapports de masses sont encodés dans les corps algébriques Z[√2], Q(√5) et Q(√6), ainsi que dans leurs composita. L’angle de Weinberg sin²θ_W = (2−√2)/4, le couplage fort α_s = 3/(8π) et le nombre de générations N_f = 3 sont des sorties algébriques exactes de cette structure. Les Annexes A–F couvrent : la table des théorèmes TC, la structure SO(10)→PS→SM avec annulation des anomalies, le groupe de renormalisation effectif, le matching hypercharge GUT-normalisé, la fermeture par action spectrale, et l’analyse de robustesse (lagrangien PS/TC, seuils lourds non dégénérés, désintégration du proton). La symétrie LR Δ(2L−2R) = −0,18 est rigoureusement préservée sous seuils. La durée de vie estimée du proton τ_p ~ 6×10^39 ans est compatible avec les bornes Super-Kamiokande ; les leptoquarks V(B-L) conservent B-L et n’induisent pas le mode p → e+ π0. Les corrections à deux boucles, le secteur Yukawa complet et l’analyse complète des opérateurs de désintégration du proton sont réservés à la V2.1.