Integrability for fractional potentials in weighted Morrey-Orlicz spaces

Abstract Our aim in the present paper is to establish the Sobolev-Trudinger inequality for $$\rho $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:math> -potentials $$I_\rho f$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>I</mml:mi> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> in weighted Morrey-Orlicz spaces, with the aid of Hedberg’s method by use of maximal functions. As an application, we prove the Sobolev-Trudinger integrabilities for $$\rho $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:math> -potentials of double phase $$ \varphi (x,r) = \varphi _1(r) + \varphi _2(b(x)r) \quad \text {for} x\in {\mathbb {R}}^n \text { and } r \ge 0 , $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>for</mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> where $$\varphi _1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> and $$\varphi _2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>φ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> are convex functions on $$[0,\infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and b is a nonnegative function satisfying the Hölder type condition.