On symmetric polynomials of metabelian Lie algebras

Abstract Let $$F_n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> be the free metabelian Lie algebra of rank n over a field K of characteristic zero. In this work, we provide an explicit set of generators and a presentation of generators of the algebra $$(F_n')^{S_n}=F_n^{S_n}\cap F_n'$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:msubsup> <mml:mo>∩</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> of symmetric polynomials as a right $$K[X_n]^{S_n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> -module. Besides, we compute the Hilbert series of the K -space $$(F_n')^{S_n}.$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:msup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>