Regularity of Weak Solutions on Besov Spaces via the Continuous Shearlet Transform in Higher Dimensions

Abstract The aim of this work is to provide a characterization for the Besov spaces $$B^{r,q}_p(\mathbb {R}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> via the continuous shearlet transform in higher dimensions with isotropic dilations to show the regularity of weak solutions $$u \in W^{m,p}(\mathbb {R}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>W</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> under the equation $$Qu =f$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , so that for a given $$f \in B^{r,q}_p(\mathbb {R}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , $$u \in B^{r+m,q}_p(\mathbb {R}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . In this case, $$1&lt; p,q &lt; \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$0&lt; r &lt; 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and where $$Q = \sum _{\beta \le m}c_{\beta } \partial ^{\beta }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is a partial differential operator of pure order m with positive constant coefficients $$c_{\beta }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>