Fujita-Type Results for a Coupled Parabolic System of Hénon-Type Equations on Homogeneous Carnot Groups

Abstract In this paper, we consider a coupled parabolic system with multiple Henón-type components $$\left( \partial _t \textbf{u} - \Delta _{\mathbb {G}} \textbf{u} \right) (x,t) = H(x,t,\textbf{u})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> for $$ (x,t) \in \mathbb {G} \times (0,T)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , where $$\textbf{u}=(u_1,\cdots ,u_m) $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>⋯</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is the unknown, $$\mathbb {G}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> is a homogeneous Carnot group on $$\mathbb {R}^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , $$\Delta _{\mathbb {G}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is the operator whose components are given by the sub-Laplacian on $$\mathbb {G}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:math> , and $$\begin{aligned} H(x,t ,\textbf{u})=\left( t^{s_1} \ |x|_{\mathbb {G}}^{\gamma _1} \ u_2^{p_1}, t^{s_2} \ |x|_{\mathbb {G}}^{\gamma _2} \ u_3^{p_2}, \cdots , t^{s_{m}} \ |x|_{\mathbb {G}}^{\gamma _{m}} \ u_1^{p_{m}} \right) , \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msubsup> <mml:mspace/> <mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub>